Analyse 3 — 2LMD

Analyse 3 — 2LMD

Universita e Mouloud Mammeri Facult’e G’ enie de la construction D ‘ epartement G’ enie Civil. Ann •ee 2012/2013 Analyse Ill LMD Rachid Benabidallah 2 Table des mati e rie eriques 1. 1 Convergence, div or 122 Sni* to View 1. 2 Condition n’ ecessaire de convergence . .3 Op erations sur les s • eries 1. 4 S’ erie g’ eom’ etrique . 1. 5 S’erie de Riemann 1. 6 S’ eries a’ termes positifs . 1 . 7 S’ eries a’ termes de signe quelconque s • e ries 1. 9 Calcul approch’ e de la somme d’une s’ erie diff• erentielles ordinaires 3. 1 Equations diff’ erentielles du premier ordre .. 3. 1. 1 Existence locale et unicit • e . Classification des equations diffi erentielles du premier ordre 3. 2. 1 Equations a’ variables s • eparables . 3. 2. 2 Les ‘equations homog•enes . 3. 2. 3 Équations lin’ eaires 3. 3 Application a’ la physique 3. 3. 1 Croissance d’une population 3. 3. 2 Chute d’un corps dans l’air 3. 4 Application a • la thermodynamique . 3. 41 Equations des courbes adlabatlques des gaz parfaits 3. 4. 2 Applications nurn• eriques . 3.

Désolé, mais les essais complets ne sont disponibles que pour les utilisateurs enregistrés

Choisissez un plan d'adhésion
43 Refroidissement dans une d • etente adiabatique 3. 4. 4 Travail dans une d’ etente adiabatique . s eries de Fourier 4. 2. 2 Int’ egration des s’ eries de Fourier.. . 3 Application a • la Physique 4. 4 Applications des s eries de Fourier a’ l’int egration des equations aux partielles 4. 4. 1 Equation de la chaleur . 4. 4. 2 Cas d’une barre m • etallique finie 4. 4. 3 Cas d’une plaque rectangulaire. . 4. 4. 4 Equations des ondes . 4. 4. 5 Equation des membranes vibrantes 4 , Sn On appelle s ‘ erie num erique de terme g • en eral un , le couple ({un l, {Sn Y) form ‘e de la suite (un } et de la suite de ses sommes partielles {Sn par commodit ‘e on d’ esignera la s’ erie de terme g • en eral un par le symbole somme un ou dans certains cas

Si la suite (Sn } poss ‘ ede une limte somme S, on dira que la s erie de terme g’ en eral un est convergente, et, dans ce cas on ecrira lim Sn = lim uk – est donc divergente de somme infinie. 3. soit la s’ erie un , un = (-1)n . Formons la suite des sommes partielles Sn . On a SI + 1=0, 52=-1+1 par cons equent la suite Sn n’admet pas de limite. Las’ erie est donc divergente sans somme. .2 Condition n ecessaire de convergence Soit la s’ erie un et soit Sn sa somme partielle. On a sn = uk et Sn—l – uk, sur les s e ries Soient deux s ‘ eries de terme g • en eral un et vn convergentes.

Leur somme est la s’ erie de erme g’ en eral un + vn , c’est • a-dire (un + vn ) un + Le produit d’une s’ erie de terme g’ en • eral un par un nombre X est une s • erie de terme g’ en ‘ eral hun , Cest – ‘a-dire pour tout —1 < x < 1. Par exemple 1. 5 erie de Riemann On appelle s' erie de Riemann la s' erie de terme g' en eral un = , soit log n si a -1 sia=l d'O f (x)dx = dx = si ag 1 sla>l. Donc, si ag 1, de la premi’ere inegalit’e de (1. 5. 1), on d’ eduit facilement que lim Sn = la s’ erie de R rs divergente. Si a > 1, de a termes positifs Ici on ne consid ‘ere que les s’eries dont le terme g’ en ‘ eral un est positif.

Si un < O, on consid ere la s' erie de terme g' en' eral Vn = —un . Soit alors une s' erie de terme g • en' eral un O. Notons que la suite des somme partielles est une suite croissante car Sn - Sn-l = un > O, donc convergente si elle est major’ ee. Il en r • esulte un est convergente FI uk est major’ ee. n=k sn Cette condition n ecessaire est suffisante nous permet de comparer deux s’ eries a • termes positifs. En effet, on a le th eor• eme suivant Th’ e or eme 1 . (de comparaison) soient deux s’ eries de termes g’ en eraux positifs un et vn telles que un Vn . Alors vn est convergente PAGF OF