1ère ES FICHE Etude des variations d’une fonction Cette fiche de leçon n’est pas exactement conforme à celle vue en classe. Elle est différemment organisée et davantage rédigée afin de vous permettre à un élève absent de pouvoir mieux la comprendre. l. Étudier les variations d’une fonction grâce à l’étude du signe de sa dérivée THEOREME FONDAMENTAL (admis) Soit f une fonction d Lorsque la fonction d est strictement crols f est strictement déc Ive ors positive sur l, alors f négative sur l, alors Lorsque la fonction d riv e t’ est nulle sur l, alors f est constante sur l.
Grâce à ce théorème fondamental, on peut étudier les variations d’une fonction de la manière suivante : plan d’étude des variations d’une fonction par Pétude du signe de • Etape 1 : on cherche dans fénoncé le domaine de définition de la fonction. • Étape 2 : on calcule la dérivée de la fonction (voir fiche « Calculer la dérivée d’une fonction »). Pour étudier le signe de la dérivée (voir fiche « Etudier le signe d’une fonction») : • Etape 3 : on analyse la forme de l’expression de la dériv dérivée . oit P(x) est de la forme
Etudier les variations de cette fonction B sur Y . On pourra démontrer que B'(x) = 3(— x — 4)(x — 44). Remarque On propose ici deux solutions détaillées selon le choix effectué ? l’étape 3 ci-dessus… Solution détaillée 1 Etude directe du signe de la dérivée en utilisant la fiche ne3 • On calcule la dérivée de la fonctio AGF 9 rif s directe du signe de la dérivée en utilisant la fiche na3 • On calcule la dérivée de la fonction. -3X2 + 528 = -3X2 + 120X + 528 • On étudie le signe de la dérivée en commençant par chercher les valeurs de x qui annulent la dérivée B'(x) est de la forme ax2+bx+c. Calculons le discriminant : = 1202— 4x(—3)x528 = 20 736 D’après la leçon (fiche n03), comme A>O, on a : -b-A- 120- 20 736 – 120 + 20 736 – 44 et x2 — —4 2x(-3) 2X(-3) B(x) est du signe de a à l’extérieur de xl et x2… On obtient ainsi le tableau de signe suivant pour la dérivée : -4
